class "my_derived_class" (base_class)

Здесь:
"my_derived_class" как и раньше - это имя нового класса.
base_class - это уже существующий класс, который будет базовым для вновь созданного. Имя выбрано произвольно, но подразумевается, что такой класс экспортирован и предназначен для наследования.
Далеко не любой класс из экспортированных со стороны хост-приложения можно использовать в качестве базового. На стороне хост-приложения должен быть создан специальный класс-обёртка. Если его нет, то ничего хорошего не выйдет. Скорее всего при попытке использовать унаследованный класс в Lua будут малопонятные проблемы и вылеты, так что надо знать совершенно точно, можно ли от конкретного класса наследовать.
Вопрос, какой глубины может быть наследование, т.е. можно ли наследовать от производного класса, мне пока до конца не ясен. С другой стороны, в этом практически нет необходимости.

Итак после выполнения указанной конструкции появляется класс my_derived_class, который является копией класса base_class. У него есть в точности те же методы, что и у его базового класса. Пока от этого мало толку. Но теперь можно переопределить методы нашего класса, изменив таким образом его поведение. Делается это так же, как и ранее, но с некоторыми дополнениями.

Код
-- конструктор
function my_derived_class:__init(num) super(num)
end
-- обычный метод
function my_cool_class:some_method(<список аргументов>)
base_class.some_method(self, <список аргументов>)
end
-- деструктор
function my_cool_class:__finalize()
end

На что стОит обратить внимание.
Во-первых, конструкция super(num). Это вызов конструктора базового класса.
Во-вторых, для вызова метода базового класса из метода унаследованного используется другая конструкция base_class.some_method(self, ). Здесь надо использовать альтернативную форму вызова метода (с точкой и явным указанием первого аргумента self).
Наконец, метод __finalize() не требует вызова этого же метода для базового класса, поскольку тот будет вызван автоматически при удалении объекта сборщиком мусора.

Собственно и всё. Теперь можно пользоваться созданным классом: создавать объекты этого класса, вызывать их методы и пр. Здесь уже всё зависит от конкретных целей и требует знания конкретных классов.